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Wednesday, February 1, 2023

Chaos, Chaosforschung und chaotische Forschung

chaotische fabrikhalle

Ich halte es nicht für Zufall, dass gerade ich das Chaos erforsche. Zum einen ist das sowieso ein Running Gag bei uns im Forschungszentrum, spätestens seitdem ich die Anmeldung für Jugend forscht 12.018 HE verbaselt und kurz vor zwei internationalen Wettbewerben 12.020 HE mein Laborbuch verlegt habe. Zum anderen fiel es mir recht schwer, mich mit Chaos im Alltag abzufinden. Ich kontrolliere und plane gerne, vor allem weit in die Zukunft – Spontanität ist gar nicht meins.

Eigentlich scheint „Chaosforschung“ schließlich ein Oxymoron, ein Widerspruch in sich zu sein. Forschung versucht Ordnung in Systeme zu bringen, einen möglichst kleinen und einfachen Satz an Regeln zu finden, mit denen sich möglichst viele Phänomene erklären lassen. Unsere Welt macht einfach nicht den Eindruck als würde sie dem Chaos unterliegen, schließlich lässt sich scheinbar alles so herrlich ordnen. Vielleicht war es auch genau diese Bewunderung für Ordnung, die mich für die Wissenschaft begeisterte.

Doch wenn ich dann nach etwas frage oder etwas planen möchte, bekomme ich oft folgende Antwort von einem Opa: „Et kütt wie et kütt.“ – ich könne den Lauf der Dinge sowieso nicht vorhersagen und solle nicht so viel darüber nachdenken. Ich mochte diese Antwort nicht und eigentlich mag ich sie immer noch nicht – aber ich komme etwas besser damit klar, seitdem ich weiß, dass sie wissenschaftlich vollkommen korrekt ist. Lasst mich das ausführen.

Eine Wissenschaft von Fehlern?

Nicht nur ich war skeptisch gegenüber Chaos, in den 50ern ging es der ganzen Physik so. Chaos passte nicht ins Weltbild und in die wunderschöne Welt der Ordnung, die uns die Wissenschaften offenbart hatten. Deshalb wurde das Chaos eher als Problem der Informatik betrachtet, nicht als physikalisches Phänomen: Chaos, das sei ein „Rauschen“, das durch die Vielzahl von Einflüssen auf ein System entstünde, die sich in der Praxis kaum nachvollziehen lassen, eine Anhäufung von Mess- und Rechenfehlern. Chaosforschung war die Wissenschaft von Fehlern. Doch das stimmt nicht.

Ich vergleiche das gerne mit der Periheldrehung des Planeten Merkur: Der Perihel, also der sonnennächste Punkt der Merkurbahn, rotiert im Laufe der Zeit selbst langsam um die Sonne – schon am Ende des 19. Jahrhunderts konnte gemessen werden, dass diese Drehung 5,74 Bogensekunden pro Jahr beträgt. Doch man hatte ein Problem, mit der damals bekannten Newtonschen Mechanik ließ sich ließ sich nämlich nur eine Drehung von 5,32 Bogensekunden pro Jahr erklären.

Ein unbekannter Planet innerhalb der Merkurbahn – man nannte ihn Vulcan – hätte die Abweichung erklären können, doch die Suche nach ihm lief ins Leere. Erst Albert Einstein konnte das Problem 11.915 HE lösen, denn seine Allgemeine Relativitätstheorie modifizierte das Newtonsche Gravitationsgesetz so, dass die beobachtete Periheldrehung erklärt wurde.

Ganz ähnlich verhält es sich auch mit dem Chaos: Selbst in nicht chaotischen Simulation kann Chaos dadurch entstehen, dass sich Fehler anhäufen – weshalb man das einst sogar für das ganze Wesen des Chaos hielt. Doch in Wahrheit steckt ein völlig neues physikalisches Prinzip dahinter – statt Albert Einstein war es hier der Mathematiker Edward Lorenz, der es in den 60ern entdeckte.

Seitdem ich diese Geschichte kenne, fällt es deutlich leichter, das Chaos als Teil unserer Welt zu akzeptieren. Chaos ist kein Fehler, es resultiert nicht aus mangelnder Kenntnis unserer Umwelt oder nicht ausreichender Präzision.

Ein Kosmos wie ein Uhrwerk

Wer sich vielleicht schon etwas mit dem Thema beschäftigt hat, könnte jetzt natürlich einen Einwand vorbringen. Es handelt sich schließlich um sogenanntes deterministisches Chaos. Das bedeutet Folgendes: Könnten wir alles in Erfahrung bringen, was es über ein System zu wissen gibt, also Position und Impuls jedes einzelnen Teilchens und alle zwischen ihnen wirkenden Kräfte zu einem bestimmten Zeitpunkt, dann wäre das System vorhersehbar. Es ist lediglich aus dem Grund nicht vorhersehbar, dass sich auch extrem kleine Abweichungen auswirken und die Kenntnis somit absurd genau sein müsste – das ist die erwähnte sensitive Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen.

Unser Universum als Uhrwerk. Ist das nicht ein schöner Gedanke? Ich finde schon und da bin ich nicht der einzige. Schon der Mathematiker Pierre-Simon Laplace schrieb im Jahr 1814 das Folgende.

„Wir müssen also den gegenwärtigen Zustand des Universums als Folge eines früheren Zustandes ansehen und als Ursache des Zustandes, der danach kommt. Eine Intelligenz, die in einem gegebenen Augenblick alle Kräfte kennt, mit denen die Welt begabt ist, und die gegenwärtige Lage der Gebilde, die sie zusammensetzen, und die überdies umfassend genug wäre, diese Kenntnisse der Analyse zu unterwerfen, würde in der gleichen Formel die Bewegungen der größten Himmelskörper und die des leichtesten Atoms einbegreifen. Nichts wäre für sie ungewiss, Zukunft und Vergangenheit lägen klar vor ihren Augen.“

Pierre-Simon Laplace

Oder etwas einfacher formuliert: Da die Gegenwart eindeutig durch die Vergangenheit festgelegt ist und die Zukunft eindeutig durch die Gegenwart, wäre es möglich, sowohl Vergangenheit als auch Zukunft exakt zu rekonstruieren, wenn wir nur in einem einzigen Moment den gesamten Zustand des Kosmos kennen würden – der Rest wäre laut Laplace nur „Analyse“, also Rechnerei. Pervers komplexe und aufwendige Rechnerei, und zwar so aufwendig, dass es diese „Intelligenz“ (man nennt sie auch den Laplaceschen Dämon) nie geben kann, aber im Prinzip nur Rechnerei.

pierre-simon laplace
Pierre-Simon Laplace

Die Vorstellung eines Laplaceschen Dämonen zieht Wissenschaftler*innen in ihren Bann, schließlich ist sie der Ausdruck von Ordnung schlechthin. Eine Weltformel, die alle Phänomene des Kosmos exakt beschreibt – gäbe es eine schönere Vollendung der Geschichte der Wissenschaft, begonnen mit der Beobachtung der sich wie in einem Uhrwerk bewegenden Planeten in der Antike, vollendet in der Kenntnis, dass unser ganzer Kosmos ein Uhrwerk ist? Großartig.

Aber leider gibt es auch ein Problem: Das ganze funktioniert nicht. Das klingt erstmal nicht besonders überraschend, sondern ziemlich trivial – natürlich kann niemand diese Leistung vollbringen. Doch ich meine das hier ganz generell: Es kann nicht funktionieren, selbst theoretisch nicht. Die Gesetze der Physik verbieten es. Unser Universum ist kein Uhrwerk.

Drei Körper, viele Probleme

Warum der Lauf der Dinge niemals vorhersehbar ist, lässt sich wissenschaftlich präzise und sogar recht leicht begründen (man könnte es natürlich auch kompliziert begründen). Das Problem steckt hinter der harmlos klingenden Passage „der Analyse unterwerfen“, denn das ist eben viel mehr als nur komplexe Rechnerei – es ist nicht lösbare Rechnerei. Ich spreche vom sogenannten Dreikörperproblem.

Es ist nämlich so: Mit den Gesetzen von Johannes Kepler lässt sich die Bahn eines Planeten um einen Stern beschreiben – die funktionieren aber nur, wenn auch nur der Stern auf den Planeten wirkt – ein Zweikörperproblem. Da die Gravitationskräfte von allen Körpern aber nur mit zunehmender Distanz zu den Körpern schwächer werden und nie ganz enden, ist dies aber nie der Fall, es gibt immer Störungen durch andere Körper (streng genommen stören eben alle Körper alle anderen durch ihre Gravitation). Keplers Lösung würde dem Laplaceschen Dämon also nicht helfen.

Glücklicherweise kam nach Kepler dann Isaac Newton und stellte ein allgemeines Gesetz auf, welches vorgibt, wie sich Körper gegenseitig anziehen. Theoretisch müsste es möglich sein, einfach die Einflüsse von drei, vier fünf, acht oder einer Million Himmelskörper aufeinander mit dem Newtonschen Gravitationsgesetz auszurechnen und ihre Bewegung vorherzusagen. Doch aus irgendeinem Grund war niemand dazu in der Lage. Niemand konnte die Gleichungen lösen, welche die Bewegung von mehr als zwei Himmelskörpern unter gegenseitigem Einfluss beschreiben. Das ist auch kein Wunder: Denn diese Gleichungen sind nicht lösbar.

Dafür gibt es zwei Gründe. Der erste Grund sind Kollisionen zwischen den Himmelskörpern, hier versagt nämlich das Newtonsche Gravitationsgesetz. Sehen wir es uns mal an:

newtonsches gravitationsgesetz

Das ergibt Sinn. Die beiden Massen stehen im Zähler des Bruchs, je größer die Massen, desto stärker ist somit ihre Anziehungskraft: Auf der massereichen Erde wirkt eine größere Anziehungskraft als auf dem kleineren Mond. Die Distanz zwischen den beiden Körpern steht im Nenner, wenn sie größer wird, sinkt also die Gravitationskraft. Im Fall einer Kollision sinkt die Distanz zwischen den Körpern aber auf null (sie befinden sich ja am selben Ort…) und durch null teilen geht nicht! Die wirkende Gravitationskraft wäre unendlich groß – Chaos vorprogrammiert.

Für den zweiten Grund betrachten wir einmal dieses Diagramm.

position der gasriesen in abhängigkeit von der zeit
Ära des Chaos: Positionen der Gasriesen Jupiter (J), Saturn (S), Uranus (U) und Neptun (N) im Sonnensystem

Das Diagramm zeigt die Position der äußeren Planeten des Sonnensystems – und das besteht ganz offensichtlich aus mehr als zwei Körpern – in dessen Frühzeit. Wir sehen, dass die Reihenfolge der Planeten am Anfang noch etwas anders war, Neptun stand näher an der Sonne als Uranus. Doch dann ist etwas passiert, Jupiter und Saturn gingen eine sogenannte 1:2-Resonanz ein. Das bedeutet, dass ihre Umlaufperioden in einem ganzzahligen Verhältnis zueinander standen, in diesem Fall schaffte der Jupiter zwei Umläufe während der Saturn exakt einen schaffte.

Die gestrichelte Linie gibt den Zeitpunkt an, in dem die Resonanz eintrat und kurz darauf folgte eine Ära des Chaos: Die Bewegung aller vier Planeten wurde erheblich gestört, Uranus und Neptun tauschten sogar Positionen – vermutlich wurden sogar Asteroiden in Richtung inneres Sonnensystem und Erde geschleudert. Das Diagramm zeigt eindeutig: Bahnresonanzen destabilisieren Systeme. Mit einem Teleskop lässt sich das sogar heute noch beobachten, und zwar an den Ringen des Saturn.

Wenn ihr einen Blick auf die Saturnringe werft, werdet ihr Lücken in ihnen entdecken. Einige der Lücken entstehen dadurch, dass Staubpartikel und Felsbrocken auf diesen Orbits in einer Bahnresonanz mit einem der Monde des Saturn stünden. Deshalb sind diese Orbits nicht stabil und die Objekte wurden mit der Zeit aus ihnen verdrängt.

Der Grund dafür ist nachvollziehbar, denn zwei Planeten in einer Bahnresonanz befinden sich nach einem bestimmten Zeitraum immer wieder in derselben Konstellation zueinander. Dadurch werden extrem kleine Störungen mit jedem Umlauf verstärkt und können das System ins Chaos stürzen! Dasselbe Phänomen ist auch für das Kreischen zwischen Mikro und Verstärker bei schlechter Einstellung verantwortlich: Der verstärkte Ton wird wieder vom Mikro aufgenommen, erneut verstärkt, wieder aufgenommen, usw.

lücken zwischen den saturnringen
Zwischen den Saturnringen lugt das Chaos hervor!

Lange Rede, kurzer Sinn: Es ist mathematisch nicht möglich, die Positionen der Planeten einer Analyse zu unterziehen wie Laplace sich das dachte. Doch immerhin einen kleinen Trost gibt es: Am Anfang des 20. Jahrhunderts hatte der finnische Mathematiker Karl Frithiof Sundman eine Idee. Er klammerte das Problem der Kollisionen einfach aus und setze als Bedingung voraus, dass es nicht zu Kollisionen kommt. In diesem Fall konnte er sich der Lösung schrittweise annähern, mit einer sogenannten konvergenten Reihe.

Das funktioniert so: Unendlich viele immer kleiner werdende Elemente werden addiert, sodass die Summe – obwohl unendlich viele Werte addiert werden – nicht unendlich groß wird, sondern sich einem Grenzwert, auch Limes genannt, annähert. Also in etwa so:

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … = 2

Wenn jedes Element also nur noch halb so groß ist wie das vorherige, ergibt die Addition nach unendlich vielen Schritten zwei, der Wert nähert sich der zwei also mit jeder Addition weiter an. Nach dem Prinzip kann Sundman sich der korrekten Lösung annähern. Dennoch hilft das dem Laplaceschen Dämon nicht wirklich weiter, denn um zu einem halbwegs brauchbaren Ergebnis zu gelangen, müssten etwa 108.000.000 Elemente der konvergenten Reihe addiert werden – das ist eine eins mit acht Millionen Nullen, eine so große Zahl, dass ich genauso gut 73 Fantastilliarden sagen könnte. Absolut unbrauchbar.

Wenn die Natur unscharf wird…

Aber es steht noch viel schlimmer um die Ordnung im Kosmos. Bis zum Dreikörperproblem bei der Analyse würde der Laplacesche Dämon gar nicht kommen, schon an der Datenerhebung müsste er zwangsläufig scheitern. Der erste Grund dafür ist offensichtlich, denn die Lichtgeschwindigkeit ist das generelle Tempolimit für Informationsausbreitung im Kosmos: Der Dämon kann gar nicht über alle nötigen Informationen verfügen, da diese seit dem Urknall nur eine begrenzte Zeit hatten sich auszubreiten und einige somit noch gar nicht bei ihm angekommen sein können.

Doch damit noch nicht genug: Nicht nur, dass der Dämon aus den benannten Gründen nichts damit anfangen kann, dass unser Universum deterministisch ist, seit den 20er Jahren wissen wir auch, dass es das vermutlich gar nicht ist. Denn die Zustände, die der Dämon vermessen müsste, existieren gar nicht!

Willkommen in der sonderbaren Welt der Quanten…

Überlegen wir uns doch einfach mal wie der Dämon die Position jedes einzelnen Teilchens ermitteln kann: Wir lokalisieren Objekte durch das Licht, welches von ihnen in unsere Augen fällt. Wir müssen ein Teilchen also beleuchten und je genauer wir den Ort wissen wollen, desto kürzer muss die Wellenlänge des verwendeten Lichts sein. Doch in der Physik bedeutet eine kürzere Wellenlänge, dass die Welle energiereicher ist – sie versetzt dem Teilchen also eine Art Stoß, der seinen Impuls verändert, und je energiereicher sie ist, desto größer ist der Stoß und damit die Impulsveränderung.

Je genauer wir versuchen den Ort zu bestimmen, desto stärker beeinflusst unsere Messung also den Impuls und damit ist klar: Je genauer unsere Kenntnis über den Ort, desto größer ist zwangsläufig unsere Unkenntnis über den Impuls (Impuls ist Masse mal Geschwindigkeit, also Schwung). Schreibt man dieses sogenannte Unschärfeprinzip in einer Formel auf, sieht das so aus:

heisenbergsches unschärfeprinzip

Das Produkt aus Ortsunbestimmtheit und Impulsunbestimmtheit kann nicht kleiner sein als eine bestimmte sehr, sehr Konstante (das sogenannte Plancksche Wirkungsquantum). Daher ist klar, dass wenn der eine Faktor, bspw. die Ortsunbestimmtheit kleiner wird – der Ort also genauer ermittelt – die Impulsunbestimmtheit größer werden muss, damit die Gleichung noch aufgeht. Impuls und Ort eines Teilchens sind unbestimmt, sie können nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmt werden, weil sie nicht als festgelegte Werte existieren, sondern nur mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit in einem bestimmten Bereich. Das können wir nicht verstehen, denn es bedeutet beispielsweise, dass Teilchen bei ihrer Bewegung keine definierte Flugbahn haben, aber nehmen wir es einfach mal hin…

Das Unschärfeprinzip ist natürlich ein Problem für den Dämon, aber die Quantenmechanik legt uns noch einen Stein in den Weg – der Determinismus, also das Prinzip, dass der Kausalität nach dem der folgende Zustand sich aus dem aktuellen ergibt, gilt in unserem Kosmos nur scheinbar.

Zufall und Wahrscheinlichkeit

Stellen wir uns vor, wir wollen den Position eines Teilchens messen. Wie bereits gesagt existiert diese Eigenschaft eigentlich nicht. Wenn ihr mit einem Fußball auf eine Torwand schießt, werdet ihr allerdings nie Interferenzmuster sehen, die davon zeugen, dass sich die verschiedenen Aufenthaltswahrscheinlichkeiten überlagern. Wieso nicht? Weil sich die seltsame Quantenwelt nicht gerne zeigt, bei einer Messung (auch eine Beobachtung ist in dem Sinne eine Messung) verschränkt sie sich mit der Umgebung und verliert dabei ihre Quanteneigenschaften: Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit sinkt überall auf null und steigt an einem Ort auf hundert – das ist der Ort, an dem wir das Teilchen dann messen.

wahrscheinlichkeitsverteilungen im wasserstoffatom
Aufenthaltswahrscheinlichkeiten für Elektronen im Wasserstoffatom

Wichtig zu verstehen ist, dass dies nicht einfach die Bereiche sind, auf die wir den Aufenthaltsort technisch eingrenzen können und innerhalb derer das Teilchen irgendwo liegt – es liegt nirgendwo, diese Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist alles, was das Teilchen hat. Der Ort entsteht erst im Moment der Messung! Der Wahrscheinlichkeitsbegriff in der Physik ist also ein ganz anderer als unsere alltägliche Vorstellung davon.

Wenn wir einen Würfel werfen, treffen wir auch Wahrscheinlichkeitsaussagen, die aber aus unser Unkenntnis resultieren. Theoretisch könnten wir die Flugbahn des Würfels berechnen und exakt vorhersagen, auf welcher Zahl er landen wird – das ist Determinismus. In der Quantenphysik geht das nicht, der Zustand vor dem Kollaps der Wahrscheinlichkeitsverteilung bestimmt nicht den Zustand danach, folglich lassen sich auch keine Vorhersagen treffen. Es ist echter Zufall.

Letztlich ist die Idee des Determinismus – obwohl sie für einige der Inbegriff eines wissenschaftlichen Weltbilds zu sein scheint – tatsächlich eher eine religiöse Idee. Gott habe mit der Schaffung des Universums den Anfangszustand so bestimmt, dass der Kosmos gar keine andere Wahl habe als sich dem göttlichen Plan zu fügen und wie ein Uhrwerk auf ein bestimmtes Ziel hin abläuft.

Doch die Wissenschaft hat das Gegenteil gezeigt, unsere Welt ist eine Welt, bestimmt von Chaos, Zufall und Wahrscheinlichkeiten. Dass solch banale Prinzipien eine so fundamentale Rolle in der Funktionsweise des Kosmos einnehmen, ist gerade die für Ordnung und Bestimmtheit bekannte Wissenschaft eine heftige Kränkung – Albert Einstein konnte es sein Leben lang nicht akzeptieren und kritisierte die Quantenmechanik, indem der kreative Apparaturen entwickelte, welche das Unschärfeprinzip umgehen sollten, deren Funktion dann meist wenige Tage später von Quantenphysiker*innen widerlegt wurde.

„Gott würfelt nicht.“

Albert Einstein

Einsteins Misswillen ist überaus verständlich – die Realität scheint viel zu seltsam, um wahr zu sein. Doch heute wissen wir: Gäbe es einen Gott, wäre er glücksspielsüchtig, denn das Schicksal unseres Universums wird ständig ausgewürfelt – nur dass selbst prinzipiell nicht vorhersehbar ist wie der Würfel fällt. Aber die Realität ist nunmal nicht optional. Sie ist wie sie ist. Und sie kommt wie sie kommt. Vorhersagen lässt sie sich nicht immer. Im wahrsten Sinne des Wortes nicht.

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