Ist die 73 die einzige Sheldon-Primzahl?

73 ist die perfekte Zahl, das weiß jeder Fan der US-amerikanischen Sitcom The Big Bang Theory, die Serie ist dafür bekannt, wissenschaftliche Sachverhalte (etwa die Drake-Gleichung oder die Mission von New Horizons) immer korrekt und akkurat darzustellen und so hat die Serie in der Mathematik sogar ein neues Forschungsgebiet begründet, die Sheldon-Primzahlen. Die Frage ist folgende: Gibt es noch mehr Zahlen wie die 73?

In den USA ist das Serienfinale von „The Big Bang Theory“ schon ausgestrahlt, in Deutschland wird es noch bis zum Herbst dauern. Eine Lieblingsszene vieler Zuschauer*innen, vor allem die der Wissenschaftler*innen, ist aber bereits in der zehnten Folge der vierten Staffel – insgesamt übrigens die 73.Folge – zu sehen.

Sheldon möchte beim Essen ein Gespräch mit seinen Freund*innen beginnen und schlägt ein wirklich anregendes Gesprächsthema vor, nämlich die „beste bekannte Zahl“. Er verweist darauf, dass es nur eine korrekte Antwort gibt. Rajs Idee, es sei die 7353, weil sie umgekehrt wie das Wort „ESEL“ aussieht, ist zwar auch nicht schlecht, doch Sheldons Antwort ist weit einleuchtender.

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Sheldon Coopers Lieblingszahl ist die 73, die Erklärung von Sheldon scheint tiefgründig und willkürlich zugleich. Die 73 ist die 21. Primzahl, ihre Spiegelzahl, die 37, ist die zwölfte Primzahl. Deren Spiegelzahl wiederum ist erneut die 21 und diese ist das Produkt aus sieben und drei, den einzelnen Ziffern der 73 und der 37. Daher hat die 73 eine besondere Bedeutung.

Ist die 73 die einzige Sheldon-Primzahl?

Mathematiker*innen fragten sich nun, ob 73 die einzige solche „Sheldon-Primzahl“ ist, die alle diese Eigenschaften erfüllt und gingen diesem Rätsel nach – mit Erfolg. Der erste Schritt war eine genaue mathematische Definition der von Sheldon genannten Kriterien.

Die 73 die 21.Primzahl und das Produkt ihrer Ziffern ist ebenfalls 21. Dies lässt sich allgemeiner formulieren: Die Zahl ist die n-te Primzahl, also Pn. Das Produkt der Ziffern von Pn beträgt nun n. Die Spiegelzahl, also rev(Pn), ist gleichzeitig die rev(Pn)-te Primzahl.

Nun machte man sich mit Computern und mathematischen Methoden also auf die Suche nach weiteren Sheldon-Primzahlen, also Primzahlen, welche die bereits genannten Bedingungen erfüllen. Man stieß jedoch schnell auf scheinbar unlösbare Probleme.

Unendlich viele Primzahlen

Schließlich bewies schon Euklid von Alexandria im 3. Jahrhundert vor Christus, dass es unendlich viele Primzahlen geben muss. Der Gedankengang Euklids ist relativ einfach zu verstehen. Er widerlegte die Aussage, dass es endlich viele Primzahlen gibt wie folgt: Wenn es tatsächlich endlich viele Primzahlen gibt bedeutet das, dass es auch eine größte aller Primzahlen geben muss, nennen wir sie einfach mal gp.

Nun müsste man auch alle Primzahlen miteinander multiplizieren können, wenn es nur endlich viele von ihnen gibt, also 2*3*5*7*…. Das letzte Glied dieser Reihe wäre dann gp, eben die größte Primzahl. Diesem Produkt (also dem Ergebnis der Multiplikation aller Primzahlen) geben wir den Namen n. Jetzt rechnen wir n+1.

Vorher wäre n durch eine der Zahlen teilbar gewesen, sie ist ja das Produkt aller Zahlen. Doch die Zahl n+1 lässt sich nun natürlich nicht mehr ohne Rest durch eine der Zahlen teilen. Das bedeutet entweder, dass n+1 durch gar keine Zahl außer n+1 und 1 oder durch eine Primzahl, die größer als gp ist, teilbar ist.

Ist n+1 selbst eine Primzahl, dann ist gp nicht mehr die größte Primzahl, ist sie keine Primzahl, dann muss sie durch eine andere Primzahl teilbar sein, die größer ist als gp. Das bedeutet dass n+1 entweder auf eine Primzahl hindeutet, die größer als gp ist oder dass sie selbst eine ist.

Dies ließe sich nun mit der neuen größten Primzahl, n+1 wiederholen. Es gibt also ganz klar unendlich viele Primzahlen. Man kann natürlich keine Liste mit unendlich vielen Elementen auf irgendwelche Bedingungen überprüfen. Normalerweise wäre die mathematische Odyssee hier also vorbei, das Rätsel wäre nicht lösbar – auch das ist in der Mathematik eine häufige und legitime Lösung.

Obergrenze für Sheldon-Primzahlen

Dennoch hat man einfach mal geschaut, ob man denn direkt eine Sheldon-Primzahl findet, zunächst wurden dafür die ersten 10 Millionen Primzahlen geprüft. Bis dahin ist die 73 immer noch die einzige Primzahl, die die genannten Kriterien erfüllt.

Nun gelang Forscher*innen jedoch tatsächlich ein endgültiger Beweis. Dies gelang, indem sie beweisen konnten, dass die Obergrenze für eine mögliche Sheldon-Primzahl 10⁴⁵ ist, also eine eins mit 45 Nullen. Das kann mit einem mathematischen Satz beweisen, der die Mindestanzahl an Primzahlen in einem gewissen Intervall angibt.

Bei Zahlen, die größer sind als 10⁴⁵ ist die Anzahl der Primzahlen zwischen 0 und der hypothetischen Primzahl in jedem Fall größer als das Produkt der Ziffern der Primzahl. So kann das Produkt gar nicht mehr die Zahl selbst ergeben, da es schließlich zwangsläufig größer ist. Es kann demnach keine Sheldon-Primzahlen geben, die größer sind als 1.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000, also 10⁴⁵ oder eine Septilliarde.

Mal zum Vergleich: Der menschliche Körper besteht aus 10¹⁴ Zellen, in unserer Milchstraße gibt es etwa 10¹¹ Sterne. 10⁴⁵ ist also eine unvorstellbar gigantische, aber eindeutig endliche Zahl und somit müsste es zumindest theoretisch möglich sein, alle Primzahlen bis 10⁴⁵ zu prüfen.

Das ging natürlich nur durch kleine mathematische Taschenspielertricks, denn kein Supercomputer der Welt kann alle Primzahlen in diesem Bereich prüfen, doch zur Vereinfachung wurden sehr große Zahlen lediglich angenähert und einige Intervalle im Vorhinein komplett systematisch ausgeschlossen – somit konnte man den Kreis von Anfang an eingrenzen.

Ergebnis eindeutig

Das Ergebnis der Forschungen der Mathematiker*innen ist klar und eindeutig: Die 73 ist die einzige Sheldon-Primzahl, die es gibt. Keine andere Zahl überhaupt erfüllt all diese Eigenschaften und das ist sicher, die Existenz weiterer Sheldon-Primzahlen lässt sich also zu 100% ausschließen. Sheldon hatte wohl wieder einmal Recht.

Die Ergebnisse der Forscher*innen wurden auch in der Serie selbst als kleines Easter Egg gewürdigt: In einer Szene sind im Hintergrund auf einer Tafel Teile der Berechnungen zu sehen, die ausgeführt wurden, um das Problem der Sheldon-Primzahlen zu lösen.

Die Entdeckung könnte den Kult um die 73 also weiter anfachen, es gibt bereits T-Shirts, auf denen die 73 abgebildet ist und in Foren haben Fans der Serie die Zahl schon längst genauer unter die Lupe genommen. Sowohl die Dualschreibweise (100 1001), als auch die Oktalschreibweise (111) sind beispielsweise Palindrome, also von vorne und hinten gleich gelesen.

Der Morsecode der Zahl weist eine Spiegel- und Punktsymmetrie auf, er lautet – – · · ·  · · · – –, zudem ist Quersumme von 73 und 37 die Zahl zehn, die Summe von sieben und drei auch. Und Sheldons Schauspieler Jim Parsons ist 1973 geboren und war 2010, als die Folge erschien, 37 Jahre alt – wer weiß, vielleicht finden wir ja noch einige andere Besonderheiten der 73.