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Wednesday, September 22, 2021

Chaosforschung und Chaostheorie – einfach erklärt.

Chaos, Chaosforschung oder die Chaosforschung einfach erklärt. Das ist nicht so einfach.

In diesem Artikel findet ihr alle Informationen, Ergebnisse, Arbeiten (englisch- und deutschsprachig) und Neuigkeiten zu meinem Forschungsprojekt zum Thema Chaostheorie, das ich seit dem Sommer 2016 im Schülerforschungszentrum Nordhessen führe. Solltest du dich noch nicht mit Chaosforschung auskennen und einige Begriffe dir fremd sein, dann schau am besten unten ins Glossar.

Arbeiten zum Download

Noch nicht zu allen Arbeiten ist ein Link verfügbar.

Arbeiten Stand 2019

  • Arbeit für den Hessischen Landeswettbewerb von Schüler experimentieren Hessen (PDF)
  • Poster für den Hessischen Landeswettbewerb von Schüler experimentieren Hessen

Arbeiten Stand 2020

  • Englischsprachiges Poster für die Beijng Youth Science Creation Competition
  • Englischsprachiges Projektvideo für die Beijng Youth Science Creation Competition

Arbeiten Stand 2021

  • Englischsprachige Arbeit für die Vorrunde der All-Russian Youth Readings named after V.I. Vernadsky (PDF)
  • Englischsprachiger Anhang für Vorrunde der All-Russian Youth Readings named after V.I. Vernadsky (PDF)
  • Englischsprachiges Poster für die Vorrunde der All-Russian Youth Readings named after V.I. Vernadsky (PDF)
  • Englischsprachige Arbeit für das Finale der All-Russian Youth Readings named after V.I. Vernadsky (PDF)
  • Englischsprachige Präsentation für das Finale der All-Russian Youth Readings named after V.I. Vernadsky (PDF)
  • Englischsprachige Kurzfassung für das Finale der All-Russian Youth Readings named after V.I. Vernadsky (PDF) und Anhang (PDF)
  • Englischsprachige Abstract für das Finale der All-Russian Youth Readings named after V.I. Vernadsky (PDF)

Chaostheorie – Abstract

In diesem Paper beschreibe ich meine Forschung auf dem Gebiet der Chaostheorie 2016-2021. Sie befasst sich mit der Frage, inwieweit das Ergodentheorem auf ein Chaospendel in der physikalischen Realität anwendbar ist oder ob Reibung seine Gültigkeit hemmt.

Kern meines Versuchsaufbaus ist ein modifiziertes Chaospendel. Mit einem Auswertungsprogramm habe ich Phasenräume abgebildet. Aus den gesammelten Daten konnten die folgenden evidenzbasierten Schlussfolgerungen gezogen werden.

i) Bei meinem Pendel ist das Chaos frequenzabhängig.
ii) Reibung verschiebt die CEF nach hinten.
iii) Reibung führt zu einem Übergang zur Periodizität und bricht die Ergodizität.
iv) Bei hohen Frequenzen verliert die Reibung ihren Einfluss und ermöglicht
partielle Ergodizität.

Daraus schließe ich eine begrenzte Gültigkeit des Ergodentheorems und Konsequenzen für die Stabilität von Grenzzyklen, die von der Funktion der Auswahl zwischen divergierenden und konvergierenden Trajektorien abhängen. Ich beschreibe in dem Beitrag die Erstellung und Verifikation eines Programms zur Erforschung dieses Aspekts.

Einführung in das Chaos

Ergodizität ist eine mit chaotischem Verhalten assoziierte Eigenschaft, die darin besteht, dass die Trajektorie des Systems im Phasenraum jedem energetisch möglichen Punkt beliebig nahe kommt – ebendies ist auch die Kernaussage des von Ludwig Boltzmann im Jahre 1887 formulierten Ergodentheorems, eines wichtigen Modells in der Chaosforschung. Im Folgenden werde ich meine Forschung mit einem chaotischen Pendel zu folgender Frage vorstellen: Beeinflussen Faktoren der physikalischen Realität die Gültigkeit des Ergodentheorems und was wären die Konsequenzen einer eingeschränkten Gültigkeit? Ich stelle dabei ausdrücklich nicht die mathematische Gültigkeit in Frage oder frage nach dem Gültigkeitsbereich des Theorems [1-3], sondern werfe die Frage auf, inwiefern das Ergodentheorem innerhalb seines Gültigkeitsbereiches überhaupt angewandt werden kann oder von der Reibung – dem relevantesten physikalischen Faktor – affektiert wird.

Methodologie des Projekts “Chaosforschung”.

Bevor ich einen Versuchsaufbau entwarf, hatte ich mit theoretischen Überlegungen begonnen, die auf umfangreicher Literaturarbeit basierten [4]. Ich identifizierte mehrere potenzielle Einflüsse, welche die physikalische Realität meines realen chaotischen Pendels von dem mathematischen Modell eines idealisierten Pendels unterscheiden können, und unterschied zwischen Faktoren, die durch Modifikation des Versuchsaufbaus eliminiert werden können, und Faktoren, die ein grundlegender Bestandteil unserer physikalischen Realität sind. Ich entschied mich, die Reibung als grundlegendsten Aspekt zu untersuchen und wählte ein System, mit dem Reibung quantifiziert und variiert werden kann. Folglich können aus den Daten nur für das untersuchte System evidenzbasierte Schlussfolgerungen gezogen werden. Eine allgemeine Bedeutung für physikalisch verwandte Systeme scheint zwar wahrscheinlich, kann aber methodisch nicht nachgewiesen werden.

Dimensionalitäts-Problem

Die Wahl des Chaospendels als Forschungsobjekt war das Ergebnis eines Auswahlprozesses und ist vor allem wegen seiner mathematischen Einfachheit sehr vorteilhaft [5]. Allerdings bringt es auch einen entscheidenden Nachteil mit sich: Für die Dimension D des Phasenraums eines Systems mit Freiheitsgraden gilt Folgendes [6]:

formel für die dimensionalität des phasenraums: d = 2n

Ein Chaospendel hat zwei Freiheitsgrade (zwischen den Pendelstangen und zwischen der oberen Stange und der Aufhängung); daher ist sein Phasenraum vierdimensional (beide Winkel und die zugehörigen Winkelgeschwindigkeiten) [7]. Die Darstellung von vierdimensionalen Phasenräumen ist jedoch eine erhebliche mathematische Herausforderung, die ich nicht bewältigen konnte.

Modifizierung des Chaosforschung-Setups

Um dieses Problem zu lösen, modifizierte ich das Chaospendel. Ich installierte einen Schrittmotor, der das obere Pendel mit einer konstanten Geschwindigkeit antreibt. Auf diese Weise wird die Rückkopplung zwischen den Pendeln unterdrückt, wodurch der obere Winkel und die damit verbundene Winkelgeschwindigkeit irrelevant werden.

skizze meines chaospendels

Das Pendel hat also nur noch einen Freiheitsgrad und folglich einen zweidimensionalen Phasenraum. Die noch wirkenden Zugkräfte genügen, um Rückkopplung und chaotisches Verhalten zu ermöglichen [8], haben aber dennoch einen so geringen Einfluss auf das Verhalten des inneren Pendels, dass dessen Winkel und Winkelgeschwindigkeit im Phasenraum weiterhin vernachlässigt werden können. Zur Auswertung habe ich am zweiten Pendel einen farbigen Punkt angebracht und dessen Position mit einer Videokamera und dem optischen Auswerteprogramm Viana gemessen. Mit einfacher Trigonometrie [9] konnte ich den Winkel aus den Positionen berechnen:

formel zur berechnung des winkels

Ich musste nur den vorherigen Winkel vom aktuellen subtrahieren und dann das Ergebnis durch den Zeitschritt dividieren, um eine Winkelgeschwindigkeit [10] zu erhalten, die ich gegen den Winkel auftrug und einen Phasenraum [11] erhielt. Ich studierte die gängige Literatur über Phasenräume [12], um sie richtig zu interpretieren.

Variierung der Reibung

Anstatt Öle unterschiedlicher Viskosität zur Veränderung der Reibung zu verwenden, entschied ich mich für die einfachere Methode, den Luftwiderstand zu variieren, indem ich unterschiedlich große Flächen in Bewegungsrichtung des Pendels montierte [13]. Es war jedoch keinesfalls sicher, ob es eine Proportionalität zwischen der Größe der Fläche und der resultierenden Dämpfung gibt. Daher verwendete ich eine mathematisch-experimentelle Methode, um einen universellen Reibungsfaktor zu definieren: Zunächst lenkte ich das Pendel aus und erhielt je nach Fläche eine mehr oder weniger stark gedämpfte sinusförmige Schwingung. Der Dämpfungsfaktor lässt sich aus der Steilheit der Linie ableiten, die sich ergibt, wenn die jeweiligen maximalen Auslenkungen verbunden werden [14]. Dazu muss nur die große maximale Auslenkung am Anfang für A(0), die Zeit für t und die kleine Amplitude nach t für A(t) in

formel zur berechnung der dämpfung

Mittels Termumformung wird zunächst durch A(0) dividiert, es resultiert

formel zur berechnung der dämpfung

Dann berechne ich den natürlichen Logarithmus, wodurch e wegfällt und ich den
Dämpfungsfaktor erhalte1:

formel zur berechnung der dämpfung

Ich wiederholte diesen Vorgang für unterschiedlich große Flächen und wendete die verschiedenen Dämpfungsfaktoren auf die Flächen an. Es war klar: Reibung ist äquivalent zur Dämpfung, es gibt eindeutig eine Proportionalität. Ich konnte nun die Reibung reproduzierbar variieren.

Ergebnisse

Schließlich begann ich mit einer einjährigen Messreihe. Dabei wurden über 1.000 Messungen durchgeführt, ausgewertet und in Phasenräumen verarbeitet.

Erforschung der Reibung

Ohne die Reibung künstlich zu variieren, begann ich zunächst, die ohnehin vorhandene Reibung zwischen den Pendelstangen auszunutzen und ihre Wirkung über lange Zeiträume, in der Größenordnung von einigen Tagen, zu beobachten.

erste 100 messpunkte: chaotisches verhalten
letzte 100 messpunkte: periodisches verhalten

Aus diesen Diagrammen lässt sich schließen, dass die Reibung das chaotische Verhalten beeinflusst, indem sie einen Übergang in einen periodischen Zustand bewirkt. Eine künstliche Erhöhung der Reibung beschleunigt diesen Prozess, eine Erhöhung der Anregungsfrequenz des Pendels hingegen verlangsamt ihn. Dieses Ergebnis bestätigte im Wesentlichen meine Vermutung. Allerdings gab es auch eine Überraschung, denn bei höherer Reibung trat manchmal plötzlich gar kein Chaos mehr auf. Erst wenn ich die Frequenz weiter erhöhte, war wieder chaotisches Verhalten zu beobachten. Offenbar beeinflusst die Reibung das Chaos auf zwei verschiedene Arten:

i.) Sie führt zu einem schnelleren Übergang in einen periodischen Zustand.

ii.) Sie erhöht die Chaoseintrittsfrequenz (CEF)

Diese zweite Erkenntnis war unerwartet, aber es wurde sogar noch seltsamer: Obwohl die Dämpfung nahezu proportional zur Reibung ist, ist die CEF in keiner Weise proportional zur Dämpfung.

diagramm der abhängigkeit der chaoseintrittsfrequenz von der dämpfung

Es zeigt sich, dass die Reibung zunächst recht proportional wirkt, es aber einen Bereich gibt, in dem die CEF sehr empfindlich auf eine Veränderung wirkt. Anschließend verweilt die CEF auf einem Plateau und verändert sich kaum noch, selbst wenn die Reibung weiter erhöht wird.

Interpretation der Ergebnisse

Was bedeutet das für die Gültigkeit des Ergodentheorems? Da die Reibung das chaotische Verhalten verlangsamt, ist das Ergodentheorem in der Regel nicht erfüllt, schließlich ist die Halbwertszeit des Chaos so begrenzt, dass nie jeder energetisch mögliche Punkt durchlaufen wird. Da aber der Einfluss der Reibung nicht ewig wächst, sondern irgendwann einen Maximalwert erreicht, während die Anregungsfrequenz weiter erhöht werden kann, ist das Ergodentheorem bei hohen Frequenzen zumindest näherungsweise erfüllt – lediglich die Zentrifugalkraft setzt der Erhöhung der Anregungsfrequenz eine Grenze. Klar ist damit, dass das Ergodentheorem keine uneingeschränkte Gültigkeit zeigt, es ist ein mathematisches Modell mit lediglich eingeschränkter Anwendbarkeit auf mein Pendel.

Konsequenzen der Ergebnisse

Nun wende ich mich dem zweiten Teil der eingangs gestellten Frage zu. Welche Folgen haben die vorliegenden Ergebnisse? Zu diesem Zweck beschäftigte ich mich mit Grenzzyklen. Ein Grenzzyklus ist eine isolierte periodische Lösung eines chaotischen Systems [15], er ist insbesondere dadurch gekennzeichnet, dass benachbarte Trajektorien divergieren oder konvergieren [16]. Ich hingegen habe einen Grenzzyklus als Attraktor im Phasenraum interpretiert [17], der ein System nicht in ein punktförmiges Energietal zieht, sondern es in einen bestimmten Zyklus zwingt, den es immer wieder auf ähnliche Weise durchläuft, auch wenn Arbeit aufgewendet wird, um ihn zu durchbrechen – sozusagen das Gegenstück zu SIDC [18].

Wenn es aber vom Abstand des Startpunktes der Trajektorie vom Grenzzyklus abhängt, ob das System divergiert oder konvergiert, und der Abstand sowohl auf der x-Achse als auch auf der y-Achse liegt und somit ein Energievolumen im Phasenraum darstellt, würde das weitere Verhalten des Systems eine empfindliche Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen (Sensitive Dependence on the Initial Conditions, SDIC) zeigen [19]. Damit habe ich einen neuen Grenzzyklus-orientierten Ansatz zur klassischen Chaostheorie geliefert. Allerdings muss es Kriterien geben, welche die weitere Entwicklung des Systems bestimmen. Ein solcher Einzugsbereich kann allerdings keine Kugel- oder sonstige sphärische Form haben [20], ich sah zwei Möglichkeiten für ihren Charakter:

Ein Torus (“Donut”): In diesem Fall ist die Gesamtenergiedifferenz ausschlaggebend für die Entwicklung des Systems, die maximal erlaubte Differenz für eine konvergierende Trajektorie würde dem Radius des Torus entsprechen.

Ein Fraktal: In diesem Fall könnte SDIC auftreten, weil divergierende und konvergierende Punkte mit einem infinitesimalen Abstand zueinander existieren könnten [21]. Allerdings könnte auf sehr kleinen Skalen der Selbstähnlichkeit auch Unschärfe auftreten, wodurch quantenmechanischer Zufall statt SDIC relevant wäre.

skizze eines torusförmigen einzugsbereichs
skizze eines fraktalen einzugsbereichs

Wenn es jedoch Bereiche in der Nähe des Grenzzyklus gibt, in denen der Zyklus gebrochen ist und das Ergodentheorem bei hohen Frequenzen erfüllt ist (siehe 3b), wird die Trajektorie bei t→∞ auf einen instabilen Punkt treffen und zerfallen. Wenn sie hingegen genau in sich selbst zurückläuft und nicht auf einen instabilen Punkt trifft, ist sie im Allgemeinen instabil, weil jede Störung exponentiell wüchse [12]. Grenzzyklen könnten dadurch zwangsläufig instabil sein. Andererseits könnten Fraktale tatsächlich “echten”, d. h. indeterministischen, quantenmechanischen Zufall erzeugen, da die Unschärfe nach der Heisenbergschen Unschärferelation auf extrem kleinen Skalen auftritt.

bebilderung der unschärfe auf kleinen skalen der selbstähnlichkeit

Dies könnte auch für Fraktale gelten, denn hier gibt es schließlich keine Untergrenze für die zu betrachtende Auflösung. Paradoxerweise könnte die Quantenunschärfe dem Zyklus sogar Stabilität verleihen, denn statt SDIC wären dann Aufenthaltswahrscheinlichkeiten für instabile Punkte maßgebend, die mit Nähe zum Grenzzyklus gegen null gehen könnte. Es sollte sogar in Erwägung gezogen werden, dass der Phasenraum selbst fraktal ist. D muss dann nicht unbedingt eine natürliche Zahl, sondern kann auch eine Dezimalzahl sein, die als sogenannte Ähnlichkeitsdimension berechnet wird:

Dabei ist N die Anzahl der um den Faktor ε verkleinerten Versionen der Menge selbst, aus denen sie besteht [22]. Dies würde es erlauben, Unschärfe mittels der Chaostheorie zu interpretieren, da Winkel und Winkelgeschwindigkeit nicht vollständig in einem weniger als vierdimensionalen Phasenraum abgebildet werden können. Allerdings ist dies derzeit eine Hypothese und experimentell schwer zu verifizieren, da sich die Unschärfe lediglich durch Messstreuungen manifestiert und die auftretenden Unbestimmtheiten bei makroskopischen Systemen extrem klein sind. Außerdem schließen unausweichlich auftretende Störungen eine Verifikation mittels meines Versuchsaufbaus aus. Ich habe daher begonnen, ein Schema für ein Programm auf der Basis der Programmiersprache C++ zu entwerfen.

Anfertigung einer Simulation

Es arbeitet nach folgendem Prinzip: Für die Variablen Ort (x; y) und Geschwindigkeit (vx; vy) werden Anfangswerte als Eingabe eingegeben. Aus diesen und den zugrundeliegenden physikalischen Gesetzen ergibt sich ein Wert für die resultierende Kraft F und Beschleunigung a, die dann in die Komponenten der Geschwindigkeitsänderung in x- und y-Richtung (∆vx; ∆vy) aufgeteilt werden. Aus diesen können dann durch einfache Addition die neuen Geschwindigkeiten (vx(n+1); vy(n+1)) berechnet werden, aus denen am Ende die neuen Positionen (x(n+1); y(n+1)) ermittelt werden. Diese dienen dann als Startwerte für die nächste Iteration. Nach jeder Iteration in der Zeitspanne ∆t, die ebenfalls zu Beginn festgelegt wurde, sollen die Positionen aufgezeichnet werden, damit ich sie des Punktes in Echtzeit und zeitlicher Auflösung verfolgen kann. Dies ist für die Methodik der Datenerfassung von elementarer Bedeutung.

programmschema

Zweikörperproblem

Das Schema meiner Simulation kann zur Modellierung zahlreicher physikalischer Systeme verwendet werden. Ich stand vor dem Problem, dass ich meine Simulation verifizieren musste, was aber mit meinem simulierten System nicht möglich ist, da ich die bereits verifizierte Simulation brauchte, um sie überhaupt lösen zu können. Deshalb begann ich, sie auf ein bereits bekanntes Problem anzuwenden, nämlich die Umlaufbahn des Mondes um die Erde. Dazu brauchte ich lediglich eine Handvoll Funktionen, ich berechnete:

formel zur berechnung der geschwindigkeit des mondes

Nach dem gleichen Prinzip habe ich auch vy(t) berechnet, dann konnte x(t) ermittelt werden, und zwar durch

formel zur berechnung der neuen position des mondes

Analog auch y(t). Für den Bahnradius r des Mondes gilt nach dem Satz des Pythagoras

formel zur berechnung des bahnradius des mondes

Die eingegebenen Startwerte entsprechen der Position des Mondes in seinem Perigäum, also in seiner maximalen Nähe zur Erde2. Einen optimalen Wert für ∆t erhält man durch Variation, ich wählte ∆t = 100 s.

simulierte bahn des mondes um die erde

Dann wandte ich die Simulation auf ein anderes Zweikörperproblem an, die Bahn der Erde um die Sonne. Hierfür musste ich lediglich neue Werte einfügen. Anschließend wurden die Werte in AU (Astronomical Units) umgewandelt, um handlichere Zahlen für interplanetare Entfernungen zu erhalten.

simulierte bahn der erde um die sonne

Dreikörperproblem

Weitaus schwieriger ist die Anwendung auf ein Dreikörperproblem, aber hier tritt jene Nichtlinearität auf, die das Programm braucht, um auch auf mein Pendel anwendbar zu sein [24]. Ich simulierte die Bewegung von Sonne, Erde und Mars unter gegenseitiger Anziehung. Die Massen und Bahnradien jedes anderen Körpers müssen bei der Berechnung berücksichtigt werden, sodass aus der Superposition der Kräfte [25], bspw. für vx(Erde) resultiert:

formel zur berechnung der neuen geschwindigkeit der erde in einem dreikörperproblem

Durch ausklammern erhalte ich

formel zur berechnung der neuen geschwindigkeit der erde in einem dreikörperproblem (ausgeklammert)

Genauso ist mit der y-Komponente zu verfahren3. Die resultierenden Bahnen zeigen die erwarteten Nichtlinearitäten.

bahnen von sonne, erde und mars unter gegenseitigem einfluss

Anschließend habe ich durch Koordinatentransformation den Ursprung auf die Position der Erde gelegt, wodurch Oppositionsschleifen entstehen, die der Mars relativ zur Erde ausführt.

simulierte oppositionsschleifen des mars relativ zur erde

Kräftelose Kreisbewegungen

Eine Kreisbewegung ist einfacher als ein astronomisches Dreikörperproblem, sozusagen ein “Einkörperproblem”, aber sie ist auch meinem Chaospendel viel ähnlicher und daher für mich relevant. Ein Unterschied zu den bisherigen Simulationen ist, dass ich nun mit Vektoren und Matrizen statt mit Positionen und Geschwindigkeiten gearbeitet habe. Aus dem Drehwinkel des Pendels wird eine Drehmatrix erzeugt, die ich mit dem Ortsvektor [27] multipliziere, wodurch sie sich verändert und die neue Position erzeugt:

berechnung des ortsvektors mittels einer drehmatrix

Ich überprüfte das Ergebnis meiner Simulation, indem ich die Geschwindigkeiten aus den Positionsvektoren berechnete und deren x- und y-Komponenten getrennt auftrug. Dabei erhielt ich die typischen harmonischen Schwingungen, für v(x) eine Sinuskurve, für v(y) eine Kosinuskurve [28]. Auf diese Weise konnte ich auch hier die Korrektheit meiner Software mehrfach verifizieren.

Gekoppelte Kreisbewegungen

Anschließend habe ich auch das gekoppelte zweite Pendel simuliert, indem ich den Ursprung des zweiten Pendels auf x(t) und y(t) des ersten Pendels gesetzt habe. Damit konnte ich gekoppelte Kreisbewegungen erzeugen – da aber noch keine Kräfte wirken, bleiben die Rückkopplungen und damit das Chaos aus [29]. Allerdings konnten Regelmäßigkeiten festgestellt werden, so entspricht bspw. die Anzahl der Schleifen innerhalb der Bahn des ersten Pendels dem Quotienten aus den Anregungsfrequenzen der beiden Pendel minus 1.

Gedämpfte Kreisbewegungen

Ein weiterer wichtiger Schritt zur Simulation meines Systems war die Einführung der Reibung, um später den Einfluss der Reibung auf das Chaos bestimmen zu können. Ich habe bei der Berechnung der Winkelgeschwindigkeit des zweiten Pendels den Faktor μ für die lineare Reibung eingesetzt [30]:

formel zur berechnung der winkelgeschwindigkeit des äußeren pendels mit reibungsfaktor

Ich begann zunächst damit, den Einfluss der Reibung auf kräftefrei gekoppelte Kreisbewegungen zu untersuchen. Dabei konnte ich beobachten, dass die Reibung auf diese Bewegung ähnlich wirkt wie auf das Chaos, und die beiden Pendel sich bei höherer Reibung zunehmend wie eines verhalten. Je höher die Reibung ist, desto schneller werden die gekoppelten Kreisbewegungen zu einem einfachen Kreis.

trajektorie bei einer reibung von 0.1
trajektorie bei einer reibung von 0.05
trajektorie bei einer reibung von 0.01

Ich fragte mich, ob die Zeit bis zum Auftreten der einzelnen Kreisbewegung proportional zur Reibung ist und versuchte, diese Frage mit meiner Simulation zu beantworten. Ich simulierte Trajektorien mit variiertem μ und notierte, nach wie vielen Iterationen eine Kreisbewegung auftrat. Das Ergebnis war eine Kurve mit zwei Asymptoten, die sich den Achsen annähern: Bei einer Reibung von null würde es folglich unendlich viele Iterationen benötigen, bei einer Reibung von eins ist es von Beginn an ein einfaches Pendel [31].

abhängigkeit der anzahl von iterationen bis zum erreichen eines kreiszustands von der reibung (punkte ungefähr hyperbolisch eingeordnet)

Dies ist auch aus wissenschaftlicher Sicht sinnvoll. Dennoch habe ich meine Messungen präzisiert, indem ich eine Regression auf eine Hyperbel ersten Grades durchgeführt, die Kurve linearisiert und erneut eine Regression durchgeführt habe [32].

lineare regression der daten

Wie erwartet, erhielt ich eine annähernd gerade Linie. Der Determinationskoeffizient R2 von 0,997 ist für eine manuelle Messung überraschend hoch. Der Antiproportionalitätsfaktor beträgt 11,4.

Überprüfung von SDIC durch den Ljapunow-Exponent

I developed a method based on the Lyapunov exponent to find out if my program was already subject to SDIC. Lyapunov exponent indicates the speed with which two initial states move away from each other within a certain period of time in phase space [33]. One Lyapunov exponent is allotted to each phase space dimension. The exponent λ is defined by

formel zur berechnung des ljapunow-exponenten

Aufgelöst nach dem Lyapunov-Exponenten λ erhalte ich

formel zur berechnung des ljapunow-exponenten (umgeformt)

D(t) ist in diesem Fall der Betrag der Differenz zwischen den beiden Endzuständen nach der Zeitperiode t [34]. Sie ist definiert durch

formel zur berechnung der differenz der endzustände

Folglich ist D(0) definiert als

formel zur berechnung der differenz der anfangszustände

Ich muss also nur Anfangs- und Endzustand auf diese Weise vergleichen und das Zeitintervall berücksichtigen, um meine Simulation eindeutig auf SDIC zu prüfen.

Zusammenfassung

An dieser Stelle hebe ich meine Forschungsergebnisse hervor und unterscheide zwischen bewiesenen und mutmaßlichen Resultaten. Die folgenden Ergebnisse sind nachweisbar:

i) Im Fall meines Pedels ist das Chaos frequenzabhängig. (siehe “Variierung der Reibung”)
ii) Bei meinem Pendel ist das Chaos frequenzabhängig. (siehe “Variierung der Reibung)
iii) Reibung verschiebt den CEF nach hinten. (siehe “Erforschung der Reibung”)
iv) Reibung führt zu einem Übergang zur Periodizität und bricht die Ergodizität. (siehe “Interpretation der Ergebnisse)
v) Bei hohen Frequenzen verliert die Reibung ihren Einfluss und ermöglicht
partielle Ergodizität. (siehe “Interpretation der Ergebnisse)

Das Folgende ist allerdings noch eine offene Frage, für die es mindestens zwei verschiedene Erklärungsmöglichkeiten gibt, die ich derzeit verfolge:

i) Grenzzyklen könnten instabil sein oder der Phasenraum hat eine fraktale Dimension. (siehe “Konsequenzen der Ergebnisse”)

Die eingangs gestellte Forschungsfrage kann mit diesen Ergebnissen umfassend beantwortet werden: Im Falle meines Chaospendels gilt der Ergodentheorem nicht uneingeschränkt. Bei hohen Frequenzen kann es möglicherweise näherungsweise Gültigkeit haben. Die in 4.a aufgeworfene Frage kann aber aus den vorliegenden Daten noch nicht beantwortet werden. Es ist nicht möglich, auf die Art der Auswahl zwischen divergierenden und konvergierenden Trajektorien zu schließen, aber das in der Entwicklung befindliche Programm hat in verschiedenen Entwicklungsstadien seine Übereinstimmung mit der physikalischen Realität bewiesen.


Glossar

In diesem Glossar versuche ich, die wichtigsten Fachbegriffe zur Chaostheorie, die in meiner Arbeit zu finden sind, möglichst einfach (und daher natürlich auch stark vereinfacht) zu erklären, um ein Verständnis für meine Arbeit zu ermöglichen.

Attraktor

Ein Attraktor (lat.: ad trahere – zu sich hin ziehen) ist die Region im Phasenraum, durch die das System angezogen wird und die es nach dem Erreichen in der Regel nicht mehr verlässt. Im einfachsten Fall handelt es sich dabei um einen Punkt, der den Endzustand des Systems verkörpert, in der Chaostheorie existierten jedoch Attraktoren mit extrem komplexen Topologien (“seltsame Attraktoren”).

Chaos

Ein chaotisches System zeichnet sich durch sensitive Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen aus. Das bedeutet, dass selbst kleine Störungen eine überproportional große Wirkung haben und zu einem völlig anderen Endzustand führen können – daher können wir solche Systeme gemäß Chaostheorie nicht vorhersagen. Wichtig zu anzumerken ist, dass diese Eigenschaft in der Natur des Systems selbst liegt und kein “Rauschen” ist, welches durch eine Anhäufung von sehr vielen, aber jeder für sich völlig vorhersehbaren Einflüssen entsteht wie man in der Zeit vor der Chaosforschung dachte. Auch ein Sonnensystem, welches in einem Karton von der Außenwelt isoliert wird, bleibt über lange Zeiträume unvorhersehbar.

“e”

e ist das Formelzeichen für die sogenannte Eulersche Zahl. Die Eulersche Zahl hat ungefähr den Wert 2,718, aber ist wie Pi eine irrationale Zahl und hat daher unendlich viele Stellen. Diese Zahl hat eine kuriose Besonderheit: Zeichnet man den Graphen ex, dann entspricht die Steigung dieses Graphen an jeder Stelle ihrem Funktionswert – je größer der Wert also bereits ist, desto schneller wächst er auch.

Phasenraum

Ein Phasenraum ist ein Diagramm, welches anders als unser euklidischer “normaler” Raum nicht nur den Ort, sondern den Ort und den Impuls, also die Veränderung des Orts, darstellt. Auf diese Weise werden alle möglichen Energiezustände des System eindeutig dargestellt, was den Phasenraum zu einem beliebten Instrument, insbesondere in der Chaosforschung.

Fraktal

Ein Fraktal ist eine geometrische Figur mit einer gebrochenen Dimensionalität zwischen 1 und 2 – mehr als eine Linie, aber weniger als eine Fläche, um es anschaulich zu formulieren. Das mag kompliziert klingen, rührt aber daher, dass die Linie eines Fraktals so stark verschachtelt ist, dass die Figur kleinere Versionen ihrer selbst enthält – diese Eigenschaft nennt man Selbstähnlichkeit. In der Chaostheorie spielen sie eine große Rolle, da bspw. die Attraktoren chaotischer Systeme fraktal sind.

Frequenz

Eine Frequenz lässt sich für periodische Vorgänge (bspw. das Rotieren der inneren Pendelstange) angeben. Sie entspricht dem zeitlichen Abstand zwischen zwei Wiederholungen des Vorgangs. In meiner Arbeit ist zwischen der Anregungsfrequenz, also der Frequenz, mit der das Pendel durch den Schrittmotor getrieben wird und der Chaoseintrittsfrequenz (CEF), die nötig ist, um chaotisches Verhalten zu erzeugen, zu unterscheiden.

Logarithmus

Ein Logarithmus ist der Exponent, mit dem eine Basis potenziert werden muss, um eine bestimmte festgelegte Zahl zu ergeben. Je nach Basis unterscheidet man zwischen dem binären Logarithmus (mit Basis zwei), dem natürlichen Logarithmus (mit Basis e) und dem dekadischen Logarithmus (mit Basis zehn). Der natürliche Logarithmus von zehn beträgt bspw. ungefähr 2,303, da e2,303 ungefähr gleich zehn ist.

Matrix

Eine Matrix ist eine spezielle Anordnung von Elementen in Zeilen und Spalten, die sich auf spezielle Weise addieren oder multiplizieren lassen. Die Multiplikation eines Vektors (ein Vektor ist vereinfacht ausgedrückt ein Pfeil, der Richtung und Betrag einer Kraft angibt) mit Matrizen kann diesen Vektor je nach Matrix auf verschiedene Weisen verändern, eine Drehmatrix lässt ihn bspw. rotieren.

Unschärfe

Unschärfe ist ein fundamentales physikalisches Prinzip, demnach ist es unmöglich, zwei komplementäre Eigenschaften (bspw. Ort und Impuls) beide unendlich genau zu bestimmen. Eine genauere Kenntnis des Ortes geht immer mit einer größeren Unkenntnis des Impulses einher und umgekehrt. Dabei handelt es sich nicht um ein praktisches Problem oder einen Mangel an unseren Messinstrumenten, es ist tatsächlich theoretisch nicht möglich.

Anmerkungen

1Die Einheit von -k ist 1/s.

2Die Daten wurden in Meter umgerechnet, indem sie mit 103 multipliziert wurden, da die Gravitationskonstante G in Kubikmetern pro Kilogramm mal Sekunde zum Quadrat verfasst ist.

3In diesem Fall ist r der Abstand zur Erde, nicht zum Ursprung. Es wird aus dem Betrag der Differenz aus der Distanz der Erde zum Ursprung und der Distanz des Mars zum Ursprung berechnet.

Quellenverzeichnis

[1] Maskawa, Toshihide and Nakajima, Hideo (1974): Spontaneous Breaking of Symmetry.

[2] Kobayashi, Makoto; Maskawa, Toshihide and Kondo, Hiroki (1971): Symmetry Breaking Chiral U(3)⊕U(3) and the Quark Model, Nagoya University, Saga University, Kyoto University.

[3] Yoichiro, Nambu (2008): Spontaneous Symmetry Breaking in Particle Physics: A Case of Cross Fertilization, Enrico Fermi Institute, University of Chicago.

[4] Feldmann, David P. (2012): Chaos and Fractals: An Elementary Introduction, ISBN 9780199566440.

[5] Bolz, Joachim (1998): Die Suche nach dem “einfachsten” chaotischen System.

[6] anonymous: Phasenraum, accessed via https://de.wikipedia.org/wiki/Phasenraum on 15th Jan. 2021 at 6 PM.

[7] University of Stuttgart (2018): Was schwingt denn da? Phänomene rund um Pendel und Schwingungen, p. 9.

[8] Sugihara G, Hastings H.M. (1996): Fraktale: Ein Leitfaden für Anwender, ISBN 9783860253373.

[9] F.G. Gauß: Vierstellige logarithmische und trigonometrische Tafeln, Stuttgart 1953

[10] anonymous: Angular Velocity in Britannica, accessed via https://www.britannica.com/science/angular-velocity on 1st Apr. 2021 at 4.04 PM.

[11] Nolte, David D. (2010): The tangled tale of phase space

[12] Briggs, John and Peat, F. David (1999): Die Entdeckung des Chaos: Eine Reise durch die Chaos-Theorie, ISBN 9783446159662.

[13] anonymous: Forces on a Falling Object with air resistance, accessed via https://www.grc.nasa.gov/www/k-12/airplane/falling.html on 20th Jan. 2021 at 8.32 AM.

[14] anonymous (2019): Gedämpfte Schwingung, accessed via https://studyflix.de/ingenieurwissenschaften/gedampfte-schwingung-1502 on 16th Jan. 2021 at 9.36 PM.

[15] Sun, Xiaojuan and Lei, Jinzhi (2013): Limit Cycle, Encyclopedia of Systems Biology, ISBN 978-1-4419-9862-0.

[16] Dreher, Michael (2010): Dynamische Systeme, University of Konstanz

[17] Jürgler R. (2004) Attraktor, Grenzzykel. In: Maschinendynamik. VDI-Buch. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-18706-3_12

[18] Alexander, J. C. and Yorke, James. A. (1978): Global Bifurcation of Periodic Orbits, American Journal of Mathematics, Vol. 100, p. 263.

[19] Peitgen, Heinz-Otto (1989): Chaos and Fractals: New Frontiers of Science, ISBN 9780387202297

[20] anonymous: Attraktor, accessed via https://de.wikipedia.org/wiki/Attraktor on 16th Jan. 2021 at 9.58 PM.

[21] Mandelbrot, Benoît B. (2013): Fractals and chaos: the Mandelbrot set and beyond, Yale University.

[22] Walser, Hans (2019): Negative Dimensionen, accessed via http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/N/Negative_Dimensionen2/Negative_Dimensionen2.htm on 17th Jan. 2021 at 1 PM.

[23] Louis, Dirk (2010): Visual C++ 2010, ISBN 978-3-8273-2901-1.

[24] Freistetter, Florian (2015): Unlösbar und faszinierend: Das Dreikörperproblem, accessed via https://scienceblogs.de/astrodicticum-simplex/2015/06/09/unloesbar-und-faszinierend-das-dreikoerperproblem/ on 17th Jan. 2021 at 4.01 PM.

[25] Massin, Olivier (2015): The Composition of Forces, accessed via https://www.researchgate.net/figure/Parallelogram-of-forces_fig1_284168599 on 19th Jan. 2020 at 5.27 PM.

[26] Deutsches Zentrum für Luft- und Raumfahrt (2020): Mars in Opposition, accessed via https://www.dlr.de/content/de/artikel/news/2020/04/20201012_mars-in-opposition.html on 23rd Jan. 2021 at 11.04 AM.

[27] Iseler, Albrecht (2002): Grundbegriffe der Vektor- und Matrixalgebra, p.9, Freie Universität Berlin.

[28] Fendt, Walter (2007): Kreisbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit Mathematischer Anhang, accessed via on 22nd Jan. 2021 at 6.22 PM.

[29] Frerichs, Stefan (2000): Bausteine einer systemischen Nachrichtentheorie, accessed via https://www.stefre.de/html/chaostheorie.html on 22nd Jan. 2021 at 8.39 PM.

[30] Bohn, John L. (2018): A Student´s Guide to Analytical Mechanics, Cambridge University Press, ISBN 978-1-316-50907-4.

[31] College Algebra: Equations of Hyperbolas, accessed via https://courses.lumenlearning.com/waymakercollegealgebra/chapter/equations-of-hyperbolas/ on 2nd April 0.17 AM.

[32] (2005) Die Linearisierung einer Funktion in einem Punkt. In: Angewandte Analysis in einer Unbekannten. Springer-Lehrbuch. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/3-540-26710-7_17

[33] Falconer, Kenneth (2014): Fractal Geometry, University of St. Andrews, ISBN 978-1-119-94239-9.

[34] Feldmann, David P. (2021): Chaos and Fractals: An Elementary Introduction, ISBN 9780199566440.

Auszeichnungen

  • Regionalwettbewerb Hessen Nord von Schüler experimentieren 2019, Kategorie Physik, 1.Preis
  • Landeswettbewerb Hessen von Schüler experimentieren 2019, Kategorie Physik, 1.Preis
  • Landeswettbewerb Hessen von Schüler experimentieren 2019, Sonderpreis des Hessischen Kultusministeriums für die schöpferisch wertvollste Arbeit
  • Beijing Youth Science Creation Competition 2020, Kategorie Physik & Astronomie, 1.Preis
  • All-Russian competition of youth research works named after V.I. Vernadsky, Vorrunde Nowy Urengoi, Kategorie Physik & Astronomie, 1.Preis
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